专题扩展-树状数组-《算法笔记》同步笔记总结与补充

专题要点：

树状数组结构仍是普通数组，但在数组中的查询和更新过程类似于树状

• 核心函数运算 lowbit(i) ((i) & (-i))的三种解释： 求i元素的二进制形式中最右侧“1”的位置；等价于求元素i的因数，且该因数是最大2的幂次；或者说是能被i整除的最大的2的幂次
• 数据结构：int c[]：表示存放i号位之前lowbit(i)个元素和
• 功能：
  • getSum(int x)：求x之前所有整数和，向前遍历
  • update(int x, int v)：将第x个元素加上v，会影响到c[x]后的树状数组值，因此要向后遍历更新
• 离散化思想：当数据的值的范围超过连续可表示的范围（即数组大小），可将数据在输入个数范围内离散化排序（即排名次）存入数组中，即将数值范围转化为数据个数范围

可解问题：

• 求序列中元素左侧小于该元素的元素个数
• 求第K大元素

  几个问题：

• 为什么会呈现树状：c[i]中表示i前2^k^个元素和，根据二进制，logN个c[i]便可覆盖1~i所有元素
• 如何统计个数：当元素输入后，每次加一统计个数，update(x, 1)
• 为什么使用getSum(x)能得到左侧小于x的元素个数：因为c[]是递增的，getSum()访问的是x左侧元素（x左侧元素均小于x），求和统计次数即为小于x的元素个数

代码实现

#define lowbit(i) ((i) & (-i))
const int maxn = 1e5 + 5;
int T;
int c[maxn];

void update(int x, int v)
{
	for(int i = x; i < maxn; i += lowbit(i))
	{
		c[i] += v;
	}
}
int getSum(int x)
{
	int sum = 0;
	for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
	{
		sum += c[i];
	}
	return sum;
}
int getKth(int K)//二分查找，寻找第一个满足getSum(i) >= K的i 
{
	int l = 1, r = maxn, mid;
	while(l < r)
	{
		mid = (l + r) / 2;
		if(getSum(mid) >= K)
		{
			r = mid;
		}
		else
		{
			l = mid + 1;
		}
	}
	return l;
}

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